DOĞAN & AİLESİ
  Matematik
 

 



KÜMELER

 Kümenin Elemanı : Kümeyi oluşturan nesnelerin  her birine kümenin elemanı denir.

 

Î : Kümenin elemanıdır.

 

Ï : Kümenin elemanı değildir.

 

Liste Yöntemi ile Gösterme : Bir kümenin bütün elemanları { } sembolü içerisine, aralarına virgül konularak yazılır. Liste ile göstermede her eleman yalnız bir kez yazılır, elemanların yazılış sırası önemli değildir.

 

Venn şeması ile Gösterme : Bir kümenin bütün elemanları, kapalı bir eğri ile sınırlı düzlem parçasının içine yazılır. Kümeye ait olmayan elemanlar kapalı eğrinin dışında kalır.

 

Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme : Kümenin elemanlarının ortak özelliği, küme sembolü içine yazılır.

 

Eleman sayısı : Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir. A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

 

Boş Küme : Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } veya Æ sembollerinden biri ile gösterilir.

 

Eşit Kümeler : Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A kümesinin B kümesine eşitliği A = B biçiminde gösterilir.

 

Denk Kümeler : Eleman SAYILARI eşit olan kümelere denk kümeler denir. A kümesinin B kümesine denkliği A º B biçiminde gösterilir.

 

Alt Küme : A ve B iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı oluyorsa “A kümesine, B kümesinin alt kümesi ya da B kümesi A kapsar.” denir. Bu ifade,

 

                        A Ì B ® ( A alt küme B)

                        B É A ® (B kapsar A)  biçiminde gösterilir.

 

Alt Kümenin Özellikleri :

  1. Her küme, kendisinin bir alt kümesidir.
  2. Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir.
  3. A Ì B ve B Ì A ise, A = B’dir.
  4. A Ì B ve B Ì C ise, A Ì C’dir.

 

Alt Küme Sayısı : Bir kümenin eleman sayısı n ile gösterilirse, alt küme sayısı = 2n olur.

 

UYARI :

  1. Boş kümenin alt küme sayısı 1 dir.
  2. n elemanlı bir kümenin

a)       Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 dir.

b)       n elemanlı alt küme sayısı 1 dir.

c)       1 elemanlı alt küme sayısı n dir.

 

Öz Alt Küme : Bir kümenin, kendisinden farklı alt kümelerinin her birine, o kümenin öz alt kümesi denir. Bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı, bu kümenin alt kümelerinin sayısının 1 eksiğine eşittir.

 

Öz Alt Küme Sayısı : Bir kümenin eleman sayısı n ile gösterilirse, öz alt küme sayısı = 2n – 1 olur.

 

Kesişim Kümesi (ara kesit) : İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. A kümesi ile B kümesinin kesişimi A Ç B biçiminde gösterilir ve “A kesişim B” diye okunur.

 

Ayrık Kümeler : A ve B iki küme olsun. A Ç B = Æ ise, A ile B kümelerine ayrık kümeler denir.

 

Birleşim Kümesi : İki kümenin bütün elemanlarından oluşan yeni kümeye, birleşim kümesi veya kısaca iki kümenin birleşimi denir. A kümesi ile B kümesinin birleşimi A È B biçiminde gösterilir ve “A birleşim B” diye okunur.

 

Fark Kümesi : A ve B, iki küme olsun. A da bulunup B de bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A dan B nin farkı denir.

A dan B nin farkı, A – B veya A B biçiminde gösterilir.

  

 

DOĞAL SAYILAR

 

Sayma sayıları : Çoklukları saymada kullandığımız 1,2,3,… sayılarına sayma sayıları ve bu sayıların oluşturduğu,

S = {1,2,3, …}

Kümesine de sayma sayıları kümesi denir.

 

Doğal Sayılar Kümesi : Sayma sayılar kümesine 0 (sıfır) sayısının katılması ile oluşan N = {0,1,2,3,…} kümesine doğal sayılar kümesi denir.

 

Rakam : Sayıları yazmak içi kullanılan işaretlere rakam denir. Onluk sayma sisteminde 10 tane rakam kullanılır. Bu rakamların kümesi, R = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dur.

 

Basamak : Bir sayıda rakamların yazıldığı yerlere basamak denir.

 

Bölük : Basamaklar  sağdan sola doğru üçer üçer gruplara ayrılır. Bu gruplara bölük denir.

 

Basamak Değeri : Rakamların, sayıda bulunduğu basamağa göre aldığı değer basamak değeri denir.

 

Sayı Değeri : Rakamların, sayıda bulunduğu basamağa bağlı olmadan belirttiği değere sayı değeri denir.

 

4056 sayındaki 5 rakamının sayı değeri 5,

                                         basamak değeri rakam x basamak ( 5 x 10) 50 dir.

 

Ardışık Sayı : Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya, o doğal sayının ardışığı denir.

 

Çift Doğal Sayılar : 0,2,4,6,… olarak art arda devam eden ardışık sayılara çift doğal sayılar denir. Ç = {0,2,4,6,…}

 

Tek doğal sayılar : 1,3,5,7,… olarak art arda devam eden ardışık sayılara tek doğal sayılar denir. T = {1,3,5,7,…}

 

İki Doğal Sayı arasındaki Sayılar :

 

35 ile 97 arasındaki doğal sayılar 97 – 35 = 62           62 – 1 = 61 tanedir.

 

35 ile 97 arasındaki tek doğal sayılar 95 – 35 = 60           60 : 2 = 30 tanedir.

 

35 ile 97 arasındaki çift doğal sayılar 96 – 34 = 62           62 : 2 = 31 tanedir.

 

ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR

 

Çarpanları aynı olan 2x2x2x2 = 16 çarpma işlemi kısa olarak  24 = 16 biçiminde gösterilir.

 

24 = 16 eşitliği “iki üssü dört eşittir on altı” veya “ikinin dördüncü kuvveti  eşittir on altı” biçimlerinde okunur.

 

24 sayısına üslü sayı denir. Bu sayıda 2 ye taban, 4 e üs veya kuvvet denir.

 

UYARI :

 

  1. Bir sayının üssü, o sayıdan kaç tanesinin birbiriyle çarpılacağını gösterir.  (53 = 5x5x5=125)
  2. Üssü 1 olan üslü sayının değeri kendisine eşittir. (251 = 25)
  3. 1 in her kuvvetten değeri 1 e eşittir. (15 = 1)
  4. 0 (sıfır) hariç, üssü 0 olan üslü sayıların değeri 1 dir. (350 = 1)

 

 

 

 

BÖLÜNEBİLME KURALLARI , ASAL SAYILAR

 

2 ile Bölünebilme : Birler basamağındaki rakamı çift sayı (0, 2, 4, 6, olan doğal sayılar. 2 ye tam bölünür.

1. Tek sayıların 2 ye bölünmesinden elde edilen kalan 1 dir.

2. İki tek sayının toplamı ya da farkı çift sayıdır.

3. İki çift sayının toplamı ya da farkı çift sayıdır.

4. Bir çift sayı ile bir tek sayının toplamı ya da farkı tek sayıdır.

5. Bir tek sayının doğal sayı olan kuvveti alınırsa, sonuç tek sayıdır.

6. Bir çift sayının sayma sayısı olan kuvveti alınırsa, sonuç çift sayıdır.

 

5 ile Bölünebilme : Birler basamağı 0 ya da 5 olan doğal sayılar, 5 e tam bölünür.

1. Birler basamağı 5 ten küçük olan bir doğal sayının 5 e bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır.

2. Birler basamağı 5 ten büyük olan bir doğal sayının 5 e bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdan 5 in farkına eşittir.

 

10 ile Bölünebilme : Birler basamağı 0 olan doğal sayılar, 10 a tam bölünür.

1. Bir doğal sayının 10 a bölümünden kalan bu sayının birler basamağındaki rakamdır.

 

4 ile Bölünebilme :  Birler ve onlar basamaklarındaki rakamların oluşturduğu sayı, yani son iki basamağı 4 ün katı olan doğal sayılar, 4 e tam bölünür.

1. Bir doğal sayının birler basamağı 4 ün katı iken onlar basamağında çift rakam varsa, bu sayı, 4 e tam bölünür.

2. Bir doğal sayının 4 e bölümünden kalanı bulmak için, birler ve onlar basamaklarındaki rakamların oluşturduğu iki basamaklı sayıya bakılır. Bu sayı 4 ten küçük ise, kalan kendisidir. 4 ten büyük ise, 4 ile bölümünden kalana eşittir.

 

25 ile Bölünebilme : Birler ve onlar basamaklarındaki rakamlarının oluşturduğu sayı 25 in katı (00, 25, 50, 75) olan doğal sayılar, 25 e tam bölünür.

1. Bir doğal sayının 25 ile bölümünden kalanı bulmak için, birler ve onlar basamaklarındaki rakamların oluşturduğu iki basamaklı sayıya bakılır. Bu sayı 25 ten büyük ise 25 ile bölümünden kalana eşittir.

 

3 ile Bölünebilme :  Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ün katı olan doğal sayı, 3 e tam bölünür.

1. Bir doğal sayının 3 e bölümünden kalan, rakamlarının sayı  değerleri toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.

 

9 ile Bölünebilme :  Rakamların sayı değerleri toplamı 9 un katı olan doğal sayı, 9 a tam bölünür.

1. Bir doğal sayının 9 a bölümünden kalan, rakamlarının sayı  değerleri toplamının 9 a bölümünden kalana eşittir.

UYARI :

  1. Hem 2 ye hem de 3 e tam bölünen her doğal sayı  6 ya da tam bölünür.
  2. Hem 3 e hem de 5 e tam bölünen her doğal sayı 15 e de tam bölünür.

 

ASAL SAYI

 

Asal sayı : 1 ve kendisinden başka sayıya tam bölünemeyen doğal sayılara asal sayı denir.

A = {2,3,5,7,11,13,17,19,…}

2 hariç tüm asal sayılar tektir.

 

Asal Çarpanlara Ayırma

 

Bir sayma sayısını birden fazla asal sayımım çarpımı olarak yazmaya, o sayıyı asal çarpanlarına ayırma denir.

 

Örnek : 30 = 6.5 = 2.3.5 tir.

 

 En Büyük Ortak Bölen (E.B.O.B.)

 

İki ya da daha fazla doğal sayının bölenleri olan sayılardan en büyük olanına, verilen sayıların en büyük ortak böleni denir.En Büyük Ortak Bölen kısaca, e.b.o.b. ile gösterilir.

 

Örnek: 24 ile 36 nın en büyük ortak bölenini bulalım.

  1. Çözüm :

24 ve 36 nın ayrı ayrı bölenlerinin kümesini yazalım.

 

24B = {1,2,3,4,6,8,12,24}

 

36B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} dır.

 

Ortak bölenlerinin kümesi : (24,36)o.b. = {1,2,3,4,6,12} dir.

 

Bu kümenin en büyük elemanı e.b.o.b. olur.

 

(24,36)e.b.o.b. = 12 bulunur.

 

  1. Çözüm :

 

Verilen sayılar, ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan küçük üslüleri birbiri ile çarpılır. Bu çarpım e.b.o.b. u verir.

 

24 | 2                36 | 2

12 | 2                18 | 2

  6 | 2                 9 | 3

  3 | 3                 3 | 3

  1 |                    1 |     

 

24 = 23 . 31

36 = 22 . 32

 

(24, 36) e.b.o.b. = 22 . 31

                        =   4 . 3

                        = 12 bulunur.

 

En Küçük Ortak Kat (E.K.O.K)

 

İki yada daha fazla sayma sayısının ortak katları olan sayılardan en küçük olanına, verilen sayıların en küçük ortak katı denir. En küçük ortak kat kısaca E.K.O.K ile gösterilir.

 

Örnek : 15 ile 18 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.

 

  1. Çözüm :

 

15 ile 18 sayıları, ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan üsleri en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanlar çarpılır. Çarpım e.k.o.k olur.

 

15 | 3                18 | 2

  5 | 5                 9 | 3

  1 |                    3 | 3

                          1 |

                          

15 = 3 . 5

18 = 2 . 32

 

(15, 18) e.k.o.k. = 2 . 32.5

                        = 90 bulunur.

 

  1. Çözüm :

 

15 ile 18 birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Elde edilen bütün asal çarpanların çarpımı e.k.o.k. u verir.

 

15                 18 | 2

15                     9 | 3

5                    3 | 3

5                      1| 5

1                          |

 

(15, 18) e.k.o.k. = 2. 32.5 = 90 olur.                   

          

   

 

KESİRLER

 

Payda : Bir kesir sayısında, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösteren sayıya payda denir.

 

Pay : Bir kesir sayısında, bütünün eşit parçalarından kaç tanesinin alındığını gösteren sayıya pay denir.

 

Birim Kesir : Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir.

 

Basit Kesir : Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

 

Bileşik Kesir : Payı paydasına eşit veya payı paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir.

 

Tam Sayılı Kesir : Bir sayma sayısı ile birlikte yazılan kesirlere tam sayılı kesir denir.

 

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme : Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için, tam sayı kesrin paydası ile çarpılır. Çarpım pay ile toplanır, pay olarak yazılır. Payda aynen alınır.

 

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme : Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için, kesrin payı paydasına  bölünür. Bölüm tam sayı, kalan pay olarak yazılır. Payda aynen alınır.

 

Kesirlerin Genişletilmesi : Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayma sayısı ile çarptığımızda, kesrin değeri değişmez. Yapılan bu işleme kesri genişletme denir.

 

Kesirlerin Sadeleştirilmesi : Bir kesrin pay ve paydası aynı sayma sayısı ile bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesri sadeleştirme denir.

 

UYARI : Bir kesri en sade biçimde çevirmek için kesrin payı ve paydası, pay ve paydanın e.b.o.b. u ile bölünür.

 

Kesir Sayılarında Sıralama

 

  1. Paydaları Eşit Olan Kesir Sayılarının Sıralanması : Paydaları eşit olan kesir sayılarından payı büyük olan kesir diğerlerinden büyüktür.
  2. Payları Eşit Olan Kesir Sayılarının Sıralanması : Payları eşit olan kesir sayılarından paydası küçük olan kesir diğerlerinden büyüktür.
  3. Pay ve Paydaları Eşit Olmayan Kesir Sayılarının Sıralanması : Sıralanacak kesir sayılarının pay ve paydaları eşit değilse, önce pay veya paydaları eşitlenir; sonra da sıralama yapılır.

 

Paydaları Eşit Olan Kesirleri Toplama İşlemi :  

  1. Tam sayılar varsa toplanır, tam sayı yazılır.
  2. Paylar toplanır, pay yazılır.
  3. Ortak payda aynen yazılır.

 

Paydaları Eşit Olmayan Kesirleri Toplama İşlemi :

  1. Paydadaki sayıların e.k.o.k u bulunur.
  2. Paydalar eşitlenir.
  3. Paydaları eşit kesirlerde olduğu gibi toplanır.

 

Paydaları Eşit Olan Kesirleri Çıkarma İşlemi :  

  1. Tam sayıların farkı, tam sayı yazılır.
  2. Payların farkı, pay yazılır.
  3. Ortak payda aynen yazılır.

UYARI : Çıkanın payı eksilenin payından büyük olan tam sayılı kesirler çıkarılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Sonra çıkarma işlemi yapılır.

 

Paydaları Eşit Olmayan Kesirleri Toplama İşlemi :

  1. Paydadaki sayıların e.k.o.k u bulunur.
  2. Paydalar eşitlenir.
  3. Paydaları eşit olan kesirlerde yapıldığı  gibi çıkarma işlemi yapılır.

 

Kesirli Sayılarda Çarpma İşlemi

  1. Tam sayılı kesir varsa, bileşik kesre çevrilir.
  2. Varsa sadeleştirmeler yapılır.
  3. Payların çarpımı pay olarak yazılır.
  4. Paydaların çarpımı payda olarak yazılır.

 

 

Kesirli Sayılarda Bölme İşlemi

  1. Tam sayılı kesir varsa, bileşik kesre çevrilir.
  2. Bölünen sayı, bölenin çarpmaya göre tersi ile çarpılır.
  3. Çarpma işlemi sırasında, varsa sadeleştirmeler yapılır.

 

Örnek :

8    4       8    9     72                          12     6       1

¾ : ¾ = ¾ . ¾ = ¾  sadeleştirirsek = ¾ = ¾ = 1¾

15  9      15    4     60                          10     5       5

 

   

 

ONDALIK KESİRLER

 

Kesir sayısını virgül kullanarak ondalık kesre çevirme :

 

Paydası 10 un kuvveti olan kesir sayılarını ondalık kesre çevirme :

 

1)         7

¾¾   = 0,07

100

 

2)        19

             ¾¾  = 0,19

             100

 

                 3

3)       2 ¾ = 2,3

         10

 

                  27

4)       13 ¾¾ = 13,027

                 1000

 

Paydası 10 un kuvveti olmayan kesir sayılarını ondalık kesre çevirme :

 

  1. Kesrin paydası; 10,100,1000,… olacak biçimde kesir genişletilir veya sadeleştirilir. Elde edilen ondalık kesir, virgül kullanılarak yazılır.
  2. Kesrin payı paydasına bölünür. (Tam sayılı kesir bileşik kesir haline çevrilmeli veya tam kısmı virgülden önce yazılmalıdır.)

 

3      3      6

¾ = ¾ = ¾  = 0,6

        5     10

                   (2)

 

Ondalık Açılım : Bir kesir sayısının virgül kullanılarak ondalık kesir biçiminde yazılmasına, bu kesir sayısının ondalık açılımı denir.

 

Devirli Ondalık Açılım :

             5

Örnek : ¾ kesrinin ondalık açılımını bulalım.

             9

Kesrin payını paydasına bölelim : 5 : 9 = 0, 555…

                                        _

0,555… şeklindeki sonuç 0,5 şeklinde yazılır. Bu şekilde yazılabilen ondalık açılımlara devirli ondalık açılım denir.

 

8           _                   8       __

¾  = 0,53               1 ¾ = 1,24

15                             33

 

Ondalık Kesirleri Kesir Sayısına Çevirme

 

  1. Tam kısmı varsa yazılır.
  2. Paydası 10 un kuvveti olarak yazılır.
  3. Virgülden sonraki sayı paya yazılır.
  4. Varsa sadeleştirme  yapılır.

                     6      3                         24         6                            72          9

Örnek : 0,6 = ¾ = ¾            3,24 =3 ¾¾ = 3 ¾          2,072 = 2 ¾¾ = 2 ¾¾

                    10     5                         100        25                        1000       125

 

Ondalık Kesirlerle Toplama İşlemi :

  1. Toplanacak olan ondalık kesirler, virgüller alt alta gelecek biçimde yazılır.
  2. İşlem yapılırken virgüller dikkate alınmaz.
  3. Toplam, toplanan terimlerin virgülleri hizasından bir virgülle ayrılır.

Örnek :

               5,7

             17,028

          +   0,89 .

             23,618

 

Ondalık Kesirlerle Çıkarma İşlemi :

  1. Eksilen ve çıkan, virgüller alt alta gelecek biçimde yazılır.
  2. İşlem yapılırken virgüller dikkate alınmaz.
  3. Fark, virgül hizasından bir virgülle ayrılır.

Örnek :

            8,547

          - 3,86 .

             4,687

 

Ondalık Kesirlerle Çarpma İşlemi :

  1. İşlem yapılırken virgüller dikkate alınmaz.
  2. Çarpım, çarpanlardaki ondalık basamakların sayıları toplamı kadar sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

Örnek :

1)          3,48

x      7

              24,36

 

2)            0,028

           x    0,05 .

           0,001 40

 

Ondalık Kesirleri 10, 100, 1000, … ile Çarpma

 

10 ile çarpılırken virgül bir basamak sağa;

100 ile çarpılırken virgül iki basamak sağa;

1000 ile çarpılırken virgül üç basamak sağa kaydırılır.

 

Örnek : 0,347 x 10 = 3,47

            0,4685 x 100 = 46,85

            0,0025 x 1000 = 2,5

 

Ondalık Kesirlerde Bölme İşlemi :

  1. Bölme işlemine, verilen ondalık kesrin tam kısmından başlanır.
  2. Kesir kısmının bölünmesine gelince, bölüm virgül ile ayrılır. Bölme işlemine devam edilir.

 

Örnek :

    35,24½ 5

  - 35     ½ 7,048

    00 24

  -      20

           40

       -   40

           00

 

Bir Sayma Sayısını Ondalık Kesre Bölme :

  1. Bölen sayı 10,100,1000, .. gibi sayılarla çarpılarak virgülden kurtarılır.
  2. Bölen hangi sayı ile çarpıldıysa, bölünen de  aynı sayı ile çarpılır.
  3. Doğal sayılardaki gibi bölme işlemi yapılır.

Örnek :

42 sayısını  0,14 sayısına bölmek için 0,14 sayısı 100 ile çarpılarak virgülden kurtarılır. Sonuç 14 olur.

Daha sonra 42 sayısı da 100 ile çarpılır. 4200 bulunur. 42 : 0,14 = 4200 : 14 = 300

 

Bir Ondalık Kesri Ondalık Kesre Bölme :

 

  1. Bölen ondalık kesir virgülden kurtulacak biçimde, bölünen ve bölen sayılar 10, 100, 1000,… gibi sayı ile çarpılır.
  2. Bir ondalık kesri sayma sayısına bölme veya bir sayma sayısını diğer bir sayma sayısına bölme işlemi uygulanır.

 

Ondalık Kesirleri 10, 100, 1000, … ile Kısa Yoldan Bölme :

 

10 a bölmek için, virgül bir basamak sola;

100 e bölmek için, virgül iki basamak sola;

1000 e bölmek için, virgül üç basamak sola kaydırılır. Basamak yetmezse, sıfır yazılır.

 

Örnek : 178,6 : 10 = 17,86

             27,8 : 100 = 0,278

            4758,9 : 1000 = 4,7589

            48 : 1000 = 0,048

 

   GEOMETRİK KAVRAMLAR


Doğru :
Doğru iki yönden sınırsızdır. İki yönden sınırsız uzadığını belirtmek için, doğrunun iki ucuna ok konur. Doğrular, ya elemanı olan iki farklı noktası ile ya da bir tane küçük harf ile adlandırılır.

Örnek :

       A                                   B

¬¾·¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾·¾® k

AB doğrusu ya da k doğrusu

 

A                                   B

·¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾·

Doğru Parçası : Yukarıdaki AB doğrusunun A ve B noktaları ile bu noktalar arasındaki tüm noktaların oluşturduğu kümeye AB doğru parçası denir.  Bu doğru parçası [ AB ] biçiminde gösterilir. A ve B noktaları, AB doğru parçasının  uç noktalarıdır.

 

 

 

       A                 B                 C

¬¾·¾¾¾¾¾·¾¾¾¾¾·¾®

 

B                C

·¾¾¾¾¾·¾®   BC ışını

 

Işın : Yukarıdaki BC doğrusunun B noktası ile B noktasının C tarafında bulunan tüm noktalarının oluşturduğu kümeye BC ışını denir. Bu ışın [ BC biçiminde gösterilir. B noktası, BC ışınının başlangıç noktasıdır.

Başlangıç noktaları aynı olan ve aynı doğru üzerinde bulunan zıt yönlü iki ışına zıt ışınlar denir.  Yukarıdaki şekilde [ BC ile [ BA zıt ışınlardır.

 

Yarı Doğru :

 

A                B

·¾¾¾¾¾·¾®   AB ışını

 

A                 B

o¾¾¾¾¾·¾®   AB yarı doğrusu

 

Yukarıdaki AB ışınında, A noktası ışından çıkarılırsa, geriye kalan tüm noktaların oluşturduğu kümeye AB yarı doğrusu denir. Bu yarı doğru, ] AB biçiminde gösterilir.

 

Düzlem : Düzlem bir noktalar kümesidir. Bir noktadan çok sayıda düzlem geçer. Kesişen farklı ili doğru bir düzlem belirtir.

 

Kesişen Doğrular : İki doğrunun bir tek ortak noktası varsa, bu iki doğruya kesişen doğrular denir.

 

Paralel Doğrular : Aynı düzlem içinde bulunan ve kesişimleri boş küme olan iki doğruya paralel doğrular denir.

 

 

AÇILAR

 

Açı : Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Açı üç harf ile isimlendiriliyorsa köşedeki harf ortada olmalıdır. Tek harf ile isimlendiriliyorsa köşede bulunan harf ile isimlendirilir.

                                         Ù                  Ù

Bir AOB açısının ölçüsü s(AOB) veya m(AOB) biçiminde gösterilir ve AOB açısının ölçüsü diye okunur.

 

Eş Açılar : Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

 

Dik Açı : Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.

 

Dar Açı : Ölçüsü 90° den küçük olan açıya dar açı denir.

 

Geniş Açı : Ölçüsü 90° den büyük 180° den küçük olan açıya geniş açı denir.

 

Doğru Açı : Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

 

Tam Açı : Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

 

Komşu Açılar : Köşeleri ile birer kenarları ortak ve iç bölgeleri ayrık olan iki açıya, komşu açılar denir.

 

Komşu Bütünler Açılar : Ölçülerinin toplamı 180° olan komşu iki açıya komşu bütünler açılar denir.

 

Tümler Açılar : Ölçülerinin toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.

 

Komşu Tümler Açılar : Ölçülerinin toplamı 90° olan komşu iki açıya komşu tümler açılar denir.

 

 

ÜÇGENLER

 

Üçgen : Doğrusal olmayan A, B, C noktaları verilsin. [ AB ], [ BC] , [ AC ] doğru parçalarının birleşim kümesine üçgen denir.

                  

Bu üçgen ABC biçiminde gösterilir ve “ABC üçgeni” diye okunur.

 

Eşkenar Üçgen : Üç kenarının uzunluğu birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.

 

İkizkenar Üçgen : İki kenarının uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

 

Çeşitkenar Üçgen : Üç kenarının uzunluğu farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen denir.

 

Dar Açılı  Üçgen : Açılarının her birinin ölçüsü 90° den küçük olan üçgene dar açılı üçgen denir.

 

Dik Üçgen : Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik açılı üçgen veya dik üçgen denir.

 

Geniş Açılı Üçgen : Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir.

  

 

ÖLÇÜLER

 

Metre : Uzunluk ölçüsü temel birimi metredir. Metre, m ile gösterilir.

Metreden büyük olan uzunluklar metrenin katları ile, metreden küçük olan uzunluklar da metrenin as katları ile ölçülür. Metrenin kat ve as katları, onar onar büyür ve onar onar küçülür.

 

Metrenin Katları             Metrenin as katları

 

Dekametre (dam)          Desimetre (dm)

Hektometre (hm)           Santimetre (cm)

Kilometre (km)              Milimetre (mm)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 10 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 10 a bölünür.

 

Örnek : 1000 m = 1 km

            100 m = 1 hm

             0,1 m = 1 dm

 

 ALAN ÖLÇÜLERİ 

 

Alan ölçüsü temel birimi metrekaredir.

 

Metrekare : Kenarlarının uzunluğu birer metre olan karesel bölgenin alanına 1 metrekare denir. Metrekare m2 biçiminde gösterilir.

Uzunluk birimlerinin sonuna kare sözcüğü eklenirse, metrekarenin katları ve as katları elde edilir. Metrenin katları ve as katları, yüzer yüzer büyür ve yüzer yüzer küçülür.

 

Metrekarenin katları :

 

Dekametrekare (dam2)

Hektometrekare(hm2)

Kilometrekare (km2)

 

Metrekarenin as katları :

 

Desimetrekare (dm2)

Santimetrekare (cm2)

Milimetrekare (mm2)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 100 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 100 e bölünür.

 

Örnek : 42,5 m2 = 0 0,425 dam2

            42,5 m2 = 4250 dm2

 

ARAZİ ÖLÇÜLERİ

 

Bağ, bahçe ve tarla gibi arazilerin yüzeylerini ölçmede ar, dekar, hektar gibi birimler kullanılır. Bu birimlere arazi ölçüsü birimleri denir. Arazi ölçüsünün temel birimi “ar” dır. Ar    a    ile  gösterilir.

 

1 ar = 100 m2 dir.

 

Arın Katları ve As Katları

 

Arazi ölçüsü birimleri onar onar büyür ve onar onar küçülür.

 

 

“Ar” ın katları                 “Ar” ın as katları

 

dekar (dönüm) (daa)      desiar (da)

hektar (ha)                    santiar (ca)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 10 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 10 a bölünür.

 

 

Örnek : 10 a = 1000 m2

            100 a = 10 000 m2

             1 dekar = 1 dönüm = 1000 m2

 

 

HACİM ÖLÇÜLERİ

 

Hacim ölçüsünün temel birimi metreküptür.

Metreküp, m3 biçiminde gösterilir.

 

Metreküp : Her ayrıtının uzunluğu birer metre olan küpün hacmine 1 metreküp denir.

 

Metreküpün katları ve as katları

 

Metreküpün katları ve as katları, biner biner büyür ve biner biner küçülür.

 

Metreküpün katları :

 

Dekametreküp (dam3)

Hektometreküp(hm3)

Kilometreküp (km3)

 

Metrekarenin as katları :

 

Desimetreküp (dm3)

Santimetreküp (cm3)

Milimetreküp (mm3)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 1000 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 1000 e bölünür.

 

Örnek : 0,75 dam3 = 750 m3

            0,75 dam3 = 750 000 dm3

 

SIVI ÖLÇÜLERİ

 

Gazyağı, zeytinyağı, süt, gibi sıvı maddeler litre ile ölçülür. Litre, sıvı ölçüsünün temel birimidir. Litre l ile gösterilir.

 

1 litre = 1 dm3 tür.

 

Litrenin Katları ve As Katları

 

Litrenin katları ve as katları, onar onar büyür onar onar küçülür.

 

Litrenin Katları               Litrenin As Katları

 

Dekalitre (dal)               Desilitre (dl)

Hektolitre (hl)                Santilitre (cl)

Kilolitre (kl)                   Mililitre (ml)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 10 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 10 a bölünür.

 

Örnek : 2,8 l = 28 dl

            2,8 l = 0,28 dal

 

KÜTLE  ÖLÇÜLERİ

 

Kütle ölçüsü temel birimi kilogramdır.

Artı 4 derecedeki 1dm3 saf suyun kütlesine 1 kilogram denir.

Kilogram, kısaca kg ile gösterilir.

 

1kg lık kütlenin binde birine 1 gram denir.

Gram, kısaca g ile gösterilir.

 

Gramın Katları ve As Katları

 

Gramın kat ve as katları, onar onar büyür ve onar onar küçülür.

 

Gramın Katları               Gramın As Katları

 

Dekagram (dag)            Desigram (dg)

Hektogram (hg)             Santigram (cg)

Kilogram (kg)                Miligram (mg)

 

UYARI :

  1. Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her basamak inişte 10 ile çarpılır.
  2. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her basamak çıkışta 10 a bölünür.

 

Kilogramdan büyük kütle birimleri de vardır.

 

A)      Kental (q) = 100 kg

B)      Çeki (ç) = 250 kg

C)      Ton (t) 0 1000 kg dır.

 

 

Örnek : 0,5 dag = 5 g

            0,5 dag = 0,05 hg

 

Brüt kütle : Bir kabın boş kütlesi ile içerisine doldurulan maddenin kütlesi toplamıdır.

Net Kütle : Yalnız kaba konulan maddenin kütlesidir.

Dara : Kabın boş durumundaki kütlesidir.

 

Brüt Kütle = net kütle + dara

Net küte = brüt kütle – dara

Dara = brüt kütle – net kütle

 

ZAMAN ÖLÇÜLERİ

 

Zaman, saat adını verdiğimiz ölçü aracı ile ölçülür. Zaman ölçüsünün temel birimi saattir. Saat kısaca sa ile gösterilir.

Saatten başka zaman ölçüsü birimleri de vardır. Bunlar gün, hafta, ay yıl, yüzyıl, dakika, saniyedir.

 

1 gün = 24 saattir.

 

Saatten küçük ölçü birimleri :

 

Dakika : 1 saatlik sürenin altmışta birine dakika denir. Dakika dk ile gösterilir.

Saniye : 1 dakikalık sürenin altmışta birine saniye denir. Saniye sn ile gösterilir.

 

1 sa = 60 dk

1 dk = 60 sn

 

Saatten büyük ölçü birimleri

 

1 gün 24 sa

1 hafta 7 gün

1 ay 30 gün veya 31 gün (Şubat ayı 28 veya 29 gün olur)

1 yıl = 365 gün (4 yılda bir 366 gün olur)

1 asır (yüzyıl) = 100 yıl

 

Artık yıl : Şubat ayının 29 gün olduğu yıllara artık yıl denir. Artık yılı gösteren sayılar, 4 ile tam bölünür.

Örneğin : 1984, 1988, 1992…. Gibi yıllar artık yıllardır.

 

Örnek :

 

2 güne 5 sa kaç dakika eder? 2 gün = 2 x 24 = 48 sa

                                                                  = 60 x 48 = 2880 dk dır.

                                             5 sa = 5 x 60 =300 dk dır.

                                             2 güne 5 sa = 2880 + 300 = 3180 dk dır.

 

Zaman ölçüsü birimlerinde toplama :

  1. Aynı birimler alt alta yazılıp toplanır.
  2. Küçük birimler, gerekiyorsa büyük birime çevrilir ve eklenir.

 

      10 sa  40 dk

   +   5 sa  50 dk

      15 sa  90 dk    = 16 sa 30 dk

 

Zaman ölçüsü birimlerinde çıkarma :

  1. Aynı birimler alt alta yazılıp çıkarılır.
  2. Gerekiyorsa büyük birimden bir birim alınarak bir alt birime çevrilir ve eklenir.

 

     15 sa 47 dk 35 sn

  -    8 sa 35 dk 18 sn

       7 sa 12 dk 17 sn  bulunur.

 

Üçgenin Çevresi : Üçgenin çevresinin uzunluğu, kenarlarının uzunlukları toplamına eşittir.

Karenin Çevresi : Karenin çevresinin uzunluğu, bir kenarının uzunluğunun 4 katına eşittir.

Dikdörtgenin Çevresi : Dikdörtgenin çevresinin uzunluğu kısa kenar ve uzun kenarının toplamının 2 katına eşittir.

 

Karenin Alanı : Kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımına eşittir. (Alan = kenar x kenar)

Dikdörtgenin Alanı : Kısa kenar ile uzun kenarın uzunlukları çarpımına eşittir. ( Alan = Kısa kenar x Uzun kenar)

Dik Üçgenin Alanı : İki dik kenarının uzunlukları çarpımının yarısına eşittir.

 

Küpün Hacmi : Kenar uzunluğunun 3 defa çarpımına eşittir. (Hacim = kenar x kenar x kenar)

Dikdörgenler Prizmasının Hacmi : Hacim  = Kısa kenar (Genişlik) x Uzun Kenar (uzunluk) x yükseklik

  

 

ORAN

 

Oran : Aynı cinsten iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.

 

Orantı : İki oranın eşitliğine orantı denir.

 

Orantının Özellikleri

 

1. Dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir.

 

 a      c

¾ = ¾  ise a . d = b . c

 b      d

 

2. İçler veya dışlar yer değiştirebilir..

 

 a      c           a     b          d     c

¾ = ¾  ise , ¾ = ¾        ¾ = ¾

 b      d           c     d          b      a

 

3. Oranlar ters çevrilebilir.

 

 a      c            b     d      

¾ = ¾  ise,    ¾ = ¾  

 b      d            a     c    

 

4. Oranlar  sadeleştirilebilir. (p, k ¹ 0 için)

 

a      c             a : p     c : k      

¾ = ¾  ise,    ¾¾ = ¾¾  

 b      d            b : p     d : k    

 

5. Oranlar  genişletilebilir. (p, k ¹ 0 için)

 

a      c             a . p     c . k      

¾ = ¾  ise,    ¾¾ = ¾¾  

 b      d            b . p     d . k    

 

 

ORANTI ÇEŞİTLERİ

 

  1. Doğru Orantı

Orantıyı oluşturan aynı tür çokluklar birlikte azalır veya birlikte çoğalırsa, bu tür çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.

Doğru orantıda, içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

 

Örnek : 6 Kalem 200 000 TL olursa, 15 Kalem kaç lira olur.

Kalem sayısı arttıkça kalemlere verilecek parada artmaktadır. Kalem çoklukları ile para çoklukları birlikte arttığından, orantı doğrudur. Bu tür problemlerde, aynı cinsten olan çokluklar alt alta gelecek şekilde, aşağıdaki biçimde bir orantı kurulur.

 

6 kalem 200 000 TL olursa

15 kalem        x  TL   olur.

________________________

 

Doğru orantının “Dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir.” Kuralı uygulandığında :

 

6. x = 15 . 200 000

 

          15 . 200 000

    x = ¾¾¾¾¾¾

                 6

 

    x = 500 000 TL bulunur.

 

  1. Ters Orantı

Orantıyı oluşturan aynı tür çokluklardan bir azalırken diğeri çoğalıyorsa veya biri çoğalırken diğeri azalıyorsa, bu tür çokluklara ters orantılı çokluklar denir.

 

UYARI : Ters orantıda, aynı satırdaki çoklukların çarpımı birbirine eşittir.

 

Örnek : 5 işçi bir duvarı 18 saatte yaparsa, aynı nitelikte 12 işçi, bu duvarı kaç saatte yapar?

 

İşçi sayısı çoğalırken saat sayısı azalıyor. İki çokluk ters orantılıdır. Aynı cinsten olan çokluklar alt alta gelmek üzere, aşağıdaki biçimde orantı kurulur.

 

5      işçi      18 saatte yaparsa

12    işçi         x saatte yapar.

___________________________

 

Ters orantının “Ters orantıda, aynı satırdaki çoklukların çarpımı birbirine eşittir.” Kuralı uygulandığında :

 

12 . x = 5. 18 yazılır.

 

             5 . 18

       x = ¾¾¾

                12

 

        x = 7,5 sa bulunur.

 

PLAN ve ÖLÇEK

 

Plan :  Bir kentin, bir parkın, bir evin veya bir odanın  kuş bakışı görünüşünün belirli bir oranda küçültülmüş şekline plan denir.

 

Ölçek : Plandaki küçültme oranına ölçek denir.  Her plan ve haritanın ölçeği, plan ve haritanın alt köşesine yazılır. Her ölçeğin paydası gerçek uzunluğu, payı da plandaki uzunluğu gösterir.

 

Plandaki Uzunluğu Bulmak : Plandaki uzunluğu bulmak için, gerçek uzunluk ölçekle çarpılır. Örnek :

                                                 1

20 m genişliğindeki bir bahçenin ¾¾ ölçekli plandaki genişliği kaç santimetredir?

                                                500

 

20 m = 2000 cm

                                          1

Plandaki uzunluk = 2000 . ¾¾

                                        500

 

                             2000

                          = ¾¾  = 4 cm dir.

                              500

 

Gerçek Uzunluğu Bulmak : Gerçek uzunluğu bulmak için, plandaki uzunluk ölçeğin paydası ile çarpılır. Örnek :

  1

¾¾ ölçekli bir planda, bir odanın genişliği 1,5 cm olarak gösterilmiştir.  Odanın genişliği kaç metredir?

200

 

Gerçek uzunluk = 1,5 cm x 200 = 300 cm = 3 m dir.

 

Ölçeği Bulmak : Belirli iki nokta arasındaki gerçek uzunluk ile bu uzunluğun çizilecek plandaki ölçüsü verilsin bu planın ölçeğini bulmak için, plandaki uzunluk gerçek uzunluğa bölünür. Örnek :

60 m uzunluğundaki bir bahçenin plandaki uzunluğu 3 cm olduğuna göre, planın ölçeği kaçtır?

 

Plandaki uzunluk = 3 cm

Gerçek uzunluk = 60 m = 6000 cm

 

             Plandaki uzunluk

Ölçek = ¾¾¾¾¾¾¾¾

             Gerçek uzunluk

 

              3

Ölçek = ¾¾

            6000

            

              1

Ölçek = ¾¾  dir.

             2000

 

 DENKLEM KURMA

PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ
Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.
Buna göre, soruları çözerken;
1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.
2) Verilenler matematik diline çevrilir.
3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.
4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME
Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.
1) Herhangi bir sayı x olsun.
Sayının a fazlası : x + a dır.
Sayının a fazlasının yarısı : dir

Sayının yarısının a fazlası : dır

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.
Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.
Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.
Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.
Ardışık üç tam sayının toplamı :
x + (x + 1) + (x + 2) dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı :
x + (x + 2) + (x + 4) tür.

D. YAŞ PROBLEMLERİ
Bir kişinin yaşı x ise,
T yıl önceki yaşı : x – T
T yıl sonraki yaşı : x + T olur.
Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.
İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı
değildir.
İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.
n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
Bir işi;
A işçisi tek başına a saatte,
B işçisi tek başına b saatte,
C işçisi tek başına c saatte
yapabiliyorsa;

A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.

A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir


LOGARİTMA

log10 x = log x = lg x

Ondalık (Briggsiyen; bayağı) logaritma

10 tabanlı logaritma

loge x = ln x

Doğal (Neperiyen) logaritma

e tabanlı logaritma

log2 x = ld x

İkilik logaritma

2 tabanlı logaritma

Logaritmanın tanımı
Toplama özelliği  
Çıkarma özelliği  
Taban çevirimi
Üslerin logaritması
Köklerin logaritması
Bir'in logaritması
Özdeşlik özelliği
Dönüşümler:

log x = (log e) (ln x) = 0.434294 (ln x)

ln x = (log x) / (log e) = 2.302585 (log x)


SAYI SİSTEMLERİ

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.
Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.
B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.
Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.
a b c = 103 . a + 10 . b + c
| | |
| | |
| | | 100 lar (birler) basamağı
| |
| | 101 ler (onlar) basamağı
|
| 102 ler (yüzler) basamağı

 

  • ab = 10 . a + b
  • abc = 100 . a + 10 . b + c
  • aaa = 111 . a
  • ab + ba = 11 . (a + b)
  • ab – ba = 9 . (a – b)
  • abc – cba = 99 . (a – c)


 BİRİNCİ DERECEDE DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere, ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir. Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur. a, b, c Î IR olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î IR2 için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Çözüm Kümesinin Bulunması Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır. Biz burada üçünü vereceğiz. a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır. Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar. b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir. Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar. c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir). Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar. Ü ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 denklem sistemini göz önüne alalım: Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

Birinci durum: ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
İkinci durum: ise, bu iki doğru çakışıktır. Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar. Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.
ise, bu iki doğru paraleldir. Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz. Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir

ÜS - KUVVET

 
Üslerin toplamı kuralı
Üslerin çıkarımı kuralı
Kare kökün tanımı
Üslerin çarpım dağılımı özelliği
Üslerin bölüm dağılımı özelliği
Üslerin dağılımında ortak parantez özelliği
Birinci kuvvet kuralı
Sıfırıncı kuvvet kuralı
Kısmi üs-kısmi kök ilişkisi
Negatif üs tanımı
Üslerin kuvveti kuralı
Üslerin çıkarımı kuralı

BÖLME BÖLÜNEBİLME
 

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

 

bölme işleminde,

  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B . C + K dır.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.  
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden
kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki
basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden
 kalana eşittir.

l… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5
ile
bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0
sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4
+ 2a5) + … = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler
 basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1
 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + …
 işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların
(son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler
 basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının
 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden
kalana eşittir.

ARİTMETİK ORTALAMA

E. ARİTMETİK ORTALAMA
n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x1, x2, x3, ... , xn sayılarının aritmetik ortalaması,


Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

 
   
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=